Autoregressiva glidande medelvärde källkod

Jag försöker verkligen, men kämpar, för att förstå hur autoregressiv och rörande genomsnittsarbete Jag är ganska hemsk med algebra och tittar på det. Det förbättrar inte min förståelse för något. Vad jag verkligen skulle älska är ett extremt enkelt exempel på att säga 10 tidsberoende observationer Så jag kan se hur de fungerar Så låt oss säga att du har följande datapunkter för priset på guld. Till exempel, vid tidsperiod 10, vad skulle det rörliga genomsnittet av Lag 2, MA 2 vara eller MA 1 och AR 1 Eller AR 2. Jag har traditionellt lärt mig att flytta medelvärdet är något liknande. Men när man tittar på ARMA-modeller, förklaras MA som en funktion av tidigare felvillkor, vilket jag inte kan ta mitt huvud om. Det är bara ett snyggare sätt att beräkna detsamma Sak. Jag hittade det här inlägget hur man förstår SARIMAX intuitivt men visst att algebraen hjälper, jag kan inte se någonting riktigt klart tills jag ser ett förenklat exempel på det. Ge guldprisdata, du skulle först uppskatta modellen och se hur Det fungerar impuls E-responsanalysprognoser Kanske borde du begränsa din fråga till bara andra delen och lämna uppskattning åt sidan. Det vill säga, du skulle ge en AR 1 eller MA 1 eller vilken modell som helst, t. ex. 0 0 x x, och fråga oss hur gör det här Modellarbete Richard Hardy Aug 13 15 på 19 58. För vilken AR-modell som helst, är det enkla sättet att uppskatta parametern s att använda OLS - och springa regressionen av. Pricet beta0 beta1 cdot pris dotso betaq cdot price. Lets gör det i R. Okej, så jag lurade lite och använde arima-funktionen i R, men det ger samma uppskattningar som OLS-regressionen - prova det. Nu kan vi titta På MA 1-modellen Nu är MA-modellen väldigt annorlunda än AR-modellen. MA är ett vägt genomsnitt av tidigare perioder, där AR-modellen använder previouesperioderna faktiska datavärden MA 1 är. Pricet mu wt theta1 cdot w. Where mu är medelvärdet, och wt är felvillkoren - inte previoes-värdet av priset som i AR-modellen Nu, tyvärr, vi kan inte uppskatta parametrarna genom något så enkelt som OLS, jag kommer inte Täcka metoden här, men R-funktionen arima använder maximal likvärdighet Låt oss försöka. Hur hjälper det här. 2 När det gäller MA 1-frågan Du säger att resten är 1 0023 för den andra perioden. Det är meningslöst. Min förståelse för resten är det s skillnaden mellan det prognostiserade värdet och det observerade värdet. Men du säger då det prognostiserade värdet för period 2, är Beräknat med restvärdet för period 2 Är det rätt Isn t det prognostiserade värdet för period 2 bara 0 5423 0 4 9977 Kommer TE 17 aug 15 vid 11 24.Introduktion till ARIMA nonseasonal models. ARIMA p, d, q prognoser ekvation ARIMA modeller är , I teorin, den mest generella klassen av modeller för prognoser för en tidsserie som kan göras stationär genom differentiering om det behövs, kanske i samband med olinjära transformationer, såsom loggning eller avflöde om nödvändigt. En slumpmässig variabel som är en tidsserie är stationär Om dess statistiska egenskaper är konstanta över tid En stationär serie har ingen trend, dess variationer runt dess medelvärde har en konstant amplitud och det vinklar på ett konsekvent sätt dvs dess korta ra Ndom tidsmönster ser alltid ut i statistisk mening. Det senare tillståndet betyder att dess autokorrelationsförhållanden med sina egna tidigare avvikelser från medelvärdet förblir konstanta över tiden, eller likvärdigt, att dess effektspektrum förblir konstant över tiden. En slumpmässig variabel i denna form kan Ses som vanligt som en kombination av signal och brus, och signalen om en är uppenbar kan vara ett mönster av snabb eller långsam medelåterföring eller sinusformad oscillation eller snabb växling i tecken och det kan också ha en säsongskomponent En ARIMA Modellen kan ses som ett filter som försöker separera signalen från bruset och signalen extrapoleras därefter i framtiden för att erhålla prognoser. ARIMA-prognosen för en stationär tidsserie är en linjär dvs regressionstypsekvation där Prediktorer består av lags av den beroende variabeln och eller lags av prognosfel som är. Predicted value of Y är en konstant och eller en vägd summa av ett eller flera nya värde S av Y och eller en vägd summa av en eller flera nya värden av felen. Om prediktorerna endast består av fördröjda värden på Y är det en ren självregressiv självregresserad modell, vilket bara är ett speciellt fall av en regressionsmodell och vilken Kan vara utrustad med standard regressionsprogramvara Till exempel är en första-ordningsautoregressiv AR1-modell för Y en enkel regressionsmodell där den oberoende variabeln bara Y är försenad med en period LAG Y, 1 i Statgraphics eller YLAG1 i RegressIt Om några av Prediktorerna lags av felen, en ARIMA-modell är det inte en linjär regressionsmodell, eftersom det inte finns något sätt att ange det senaste periodens fel som en oberoende variabel, måste felen beräknas under en period då modellen Är anpassad till data Tekniskt sett är problemet med att använda fördröjda fel som prediktorer att modellens förutsägelser inte är linjära funktioner för koefficienterna trots att de är linjära funktioner i tidigare data. Så, koefficienter i ARIMA Modeller som innehåller fördröjda fel måste uppskattas genom olinjära optimeringsmetoder bergsklättring snarare än genom att bara lösa ett system av ekvationer. Akronymet ARIMA står för automatiskt regressivt integrerat rörligt medelvärde. Lags av den stationära serien i prognosen ekvationen kallas autoregressiva termer, Lags av prognosfelen kallas glidande medelvärden, och en tidsserie som behöver differentieras för att kunna göras stationär sägs vara en integrerad version av en stationär serie Slumpmässiga och slumpmässiga modeller, autoregressiva modeller och exponentiell utjämning Modeller är alla speciella fall av ARIMA-modeller. En nonseasonal ARIMA-modell klassificeras som en ARIMA p, d, q-modell, where. p är antalet autoregressiva termer. d är antalet icke-säsongsskillnader som behövs för stationaritet, ochqq är Antalet fördröjda prognosfel i prediksionsekvationen. Prognosekvationen är konstruerad enligt följande. Först, låt y beteckna den d: n skillnaden i Y vilket betyder. Notera Att den andra skillnaden i Y d2 fallet inte är skillnaden från 2 perioder sedan. Det är snarare den första skillnaden-av-första skillnaden som är den diskreta analogen av ett andra derivat, dvs den lokala accelerationen i serien Snarare än den lokala trenden. När det gäller y är den allmänna prognosen ekvationen här. De rörliga genomsnittsparametrarna s definieras så att deras tecken är negativa i ekvationen, enligt konventionen som införs av Box och Jenkins. Några författare och programvara inklusive R-programmeringen Språk definierar dem så att de har plustecken i stället När faktiska siffror är anslutna till ekvationen finns det ingen tvetydighet, men det är viktigt att veta vilken konvention din programvara använder när du läser utmatningen. Vanligtvis anges parametrarna där av AR 1 , AR 2, och MA 1, MA 2 etc. För att identifiera lämplig ARIMA-modell för Y börjar du genom att bestämma sorteringsordningen d som behöver stationera serien och ta bort bruttoegenskaperna hos Säsongsmässighet, kanske i kombination med en variansstabiliserande transformation som loggning eller avflöde Om du slutar vid denna punkt och förutsäger att den olika serien är konstant, har du bara monterat en slumpmässig promenad eller slumpmässig trendmodell. Dock kan den stationära serien fortfarande ha Autokorrelerade fel, vilket tyder på att ett antal AR-termer p 1 och eller några nummer MA-termer q 1 också behövs i prognosförhållandet. Processen att bestämma värdena p, d och q som är bäst för en given tidsserie kommer att Diskuteras i senare avsnitt av anteckningarna, vars länkar finns högst upp på denna sida, men en förhandsgranskning av några av de typer av icke-säsongsmässiga ARIMA-modeller som vanligtvis förekommer ges nedan. ARIMA 1,0,0 första ordningens automatiskegressiva modell om Serien är stationär och autokorrelerad, kanske kan den förutsägas som ett flertal av sitt eget tidigare värde, plus en konstant. Den prognosekvation i detta fall är. Vilket är Y regresserat i sig fördröjt med en tidsperiod T Hans är en ARIMA 1,0,0 konstant modell Om medelvärdet av Y är noll, skulle den konstanta termen inte inkluderas. Om lutningskoefficienten 1 är positiv och mindre än 1 i storleksordningen måste den vara mindre än 1 i storleksordningen om Y är stationär, beskriver modellen medelåterkallande beteende där nästa period s-värde ska förutses vara 1 gånger så långt bort från medelvärdet som detta periodens värde. Om 1 är negativ förutspår det medelåterkallande beteende med teckenbyte , Dvs det förutspår också att Y kommer att ligga under den genomsnittliga nästa perioden om den ligger över medelvärdet i denna period. I en andraordens autregressiv modell ARIMA 2,0,0 skulle det finnas en Y t-2 term till höger som Väl osv. Beroende på tecken och storheter på koefficienterna kan en ARIMA 2,0,0-modell beskriva ett system vars medföljande reversering sker på ett sinusformigt oscillerande sätt, som en massans rörelse på en fjäder som utsätts för Till slumpmässiga shocks. ARIMA 0,1,0 slumpmässig promenad Om serien Y inte är stationär, är det enkla St möjlig modell för det är en slumpmässig promenadmodell, som kan betraktas som ett begränsande fall av en AR 1-modell där den autoregressiva koefficienten är lika med 1, dvs en serie med oändligt långsam medelvärde. Förutsägningsekvationen för denna modell kan skrivas As. where den konstanta termen är den genomsnittliga period-till-period förändringen dvs den långsiktiga driften i Y Denna modell kan monteras som en icke-avlyssning regressionsmodell där den första skillnaden i Y är den beroende variabelen Eftersom den endast innefattar En nonseasonal skillnad och en konstant term, klassificeras den som en ARIMA 0,1,0 modell med konstant. Den slumpmässiga promenad-utan-driftmodellen skulle vara en ARIMA 0,1,0-modell utan konstant. ARIMA 1,1,0 Differensierad första ordningens autoregressiv modell Om felet i en slumpmässig promenadmodell är autokorrelerad kanske problemet kan lösas genom att lägga till en lag av den beroende variabeln till prediksionsekvationen - dvs genom att regressera den första skillnaden i Y i sig, fördröjd av en Period Detta skulle y Ignorera följande förutsägelsekvation. Det kan omordnas till. Det här är en förstaordens autoregressiv modell med en ordningsföljd av nonseasonal differentiering och en konstant term, dvs en ARIMA 1,1,0 modell. ARIMA 0,1,1 utan konstant Enkel exponentiell utjämning En annan strategi för att korrigera autokorrelerade fel i en slumpmässig promenadmodell föreslås av den enkla exponentiella utjämningsmodellen. Kom ihåg att för vissa icke-stationära tidsserier, t ex sådana som uppvisar bullriga fluktuationer kring ett långsamt varierande medel, utför den slumpmässiga promenadmodellen inte som Såväl som ett glidande medelvärde av tidigare värden Med andra ord, snarare än att ta den senaste observationen som prognosen för nästa observation, är det bättre att använda ett genomsnitt av de senaste observationerna för att filtrera bort bullret och mer noggrant uppskatta Den lokala medelvärdet Den enkla exponentiella utjämningsmodellen använder ett exponentiellt vägat glidande medelvärde av tidigare värden för att uppnå denna effekt. Förutsägningsekvationen för den enkla exponent Ial utjämningsmodell kan skrivas i ett antal matematiskt ekvivalenta former, varav en är den så kallade felkorrigeringsformen, där den föregående prognosen justeras i riktning mot det fel som det gjorde. Eftersom e t-1 Y t-1 - t-1 per definition kan detta skrivas om som en ARIMA 0,1,1-utan konstant prognosekvation med 1 1 - Det betyder att du kan passa en enkel exponentiell utjämning genom att ange det som en ARIMA 0, 1,1-modellen utan konstant, och den uppskattade MA 1-koefficienten motsvarar 1-minus-alfa i SES-formeln. Kom ihåg att i SES-modellen är den genomsnittliga åldern för data i de 1-framåtprognoser 1 som betyder att de Tenderar att ligga bakom trender eller vändpunkter med cirka 1 perioder. Det följer att den genomsnittliga åldern för data i de 1-framåtprognoserna för en ARIMA 0,1,1-utan konstant modell är 1 1 - 1 Så, Till exempel om 1 0 8, är medelåldern 5 När 1 närmar sig 1 blir ARIMA 0,1,1-utan konstant modell en mycket långsiktig m Och när 1 närmar sig 0 blir det en slumpmässig promenad utan driftmodell. Vilket är det bästa sättet att korrigera för autokorrelation som lägger till AR-termer eller adderar MA-termer I de tidigare två modellerna som diskuterats ovan har problemet med autokorrelerade fel i En slumpmässig promenadmodell fixades på två olika sätt genom att lägga till ett fördröjt värde av den olika serien till ekvationen eller lägga till ett fördröjt värde av prognosfelet. Vilket tillvägagångssätt är bäst En tumregel för denna situation som kommer att diskuteras i Mer detaljer senare är den positiva autokorrelationen vanligtvis bäst behandlad genom att addera en AR-term till modellen och negativ autokorrelation behandlas vanligtvis bäst genom att lägga till en MA-term. I affärs - och ekonomiska tidsserier uppstår negativ autokorrelation ofta som en artefakt av differentiering I Generell skillnad minskar positiv autokorrelation och kan till och med orsaka en växling från positiv till negativ autokorrelation Således är ARIMA 0,1,1-modellen, i vilken skillnad åtföljs av en MA t Erm, används oftare än en ARIMA 1,1,0-modell. ARIMA 0,1,1 med konstant enkel exponentiell utjämning med tillväxt Genom att implementera SES-modellen som en ARIMA-modell får du viss flexibilitet. Först och främst är det uppskattade MA 1-koefficienten får vara negativ, vilket motsvarar en utjämningsfaktor som är större än 1 i en SES-modell, vilket vanligtvis inte är tillåtet med SES-modellproceduren. För det andra har du möjlighet att inkludera en konstant term i ARIMA-modellen om Du önskar, för att uppskatta en genomsnittlig icke-nollutveckling. ARIMA 0,1,1-modellen med konstant har förutsägelsesekvationen. Prognoserna för en period framåt från denna modell är kvalitativt lik SES-modellen, förutom att Banan för de långsiktiga prognoserna är typiskt en sluttande linje vars lutning är lika med mu i stället för en horisontell linje. ARIMA 0,2,1 eller 0,2,2 utan konstant linjär exponentiell utjämning Linjära exponentiella utjämningsmodeller är ARIMA-modeller som Använd två nonseasonal differenc Es i samband med MA termer Den andra skillnaden i en serie Y är inte bara skillnaden mellan Y och sig själv fördröjt med två perioder, men det är snarare den första skillnaden i den första skillnaden - förändringen i förändringen av Y vid period t Således är den andra skillnaden på Y vid period t lika med Y t-Y t-1 - Y t-1 - Y t-2 Y t - 2Y t-1 Y t-2 En andra skillnad på en Diskret funktion är analog med ett andra derivat av en kontinuerlig funktion som mäter accelerationen eller krökningen i funktionen vid en given punkt i tiden. ARIMA 0,2,2-modellen utan konstant förutspår att den andra skillnaden i serien är lika med en linjär funktion Av de två sista prognosfel. Som kan omordnas som: där 1 och 2 är MA 1 och MA 2-koefficienterna. Detta är en generell linjär exponentiell utjämningsmodell som är väsentligen densamma som Holt s-modellen och Brown s-modellen är ett speciellt fall Använder exponentiellt vägda glidmedel för att uppskatta både en lokal nivå och en lokal trend i serien De långsiktiga prognoserna från denna modell konvergerar till en rak linje vars lutning beror på den genomsnittliga trenden som observerats mot slutet av serien. ARIMA 1,1,2 utan konstant fuktad trend linjär exponentiell utjämning. Denna modell illustreras i den medföljande Bilder på ARIMA-modellerna Det extrapolerar den lokala trenden i slutet av serien men plattar ut på längre prognoshorisonter för att presentera en konservatism, en övning som har empiriskt stöd. Se artikeln om Why the Damped Trend fungerar av Gardner och McKenzie och Golden Rule-artikeln av Armstrong et al för detaljer. Det är vanligtvis lämpligt att hålla sig till modeller där minst en av p och q inte är större än 1, dvs försök inte passa en modell som ARIMA 2,1,2 , Eftersom det här sannolikt kommer att leda till överfitting och commonfactorproblem som diskuteras mer i detalj i anteckningarna om den matematiska strukturen för ARIMA-modeller. Implementering av ARIMA-modeller för premiärarket, såsom de ovan beskrivna, är lätta att genomföra Na-kalkylbladet Prediktionsekvationen är helt enkelt en linjär ekvation som refererar till tidigare värden av ursprungliga tidsserier och tidigare värden på felen. Således kan du ställa in ett ARIMA-prognoskalkylblad genom att lagra data i kolumn A, prognosformeln i kolumn B, Och feldata minus prognoser i kolumn C Förutsättningsformeln i en typisk cell i kolumn B skulle helt enkelt vara ett linjärt uttryck som hänvisar till värden i föregående rader av kolumnerna A och C multiplicerat med lämpliga AR - eller MA-koefficienter lagrade i celler på annat håll på Kalkylbladet. AutoRegression Analysis AR. Written av Paul Bourke Krediter för källkod Alex Sergejew, Nick Hawthorn, Rainer Hegger November 1998. En autregressiv modell AR är också känd inom filterdesignindustrin som ett oändligt impulsresponsfilter IIR eller ett allpoligt filter , Och är ibland känd som en maximal entropimodell i fysikapplikationer. Det finns minne eller återkoppling och därför kan systemet skapa intern dynamik. Def Inition som kommer att användas här är följande: där ai är autoregressionskoefficienterna, är xt den serie som undersöks och N är ordningslängden på filtret, vilket i allmänhet är väldigt mycket mindre än seriens längd. Bullerperioden eller återstoden , Epsilon i det ovanstående antas nästan alltid vara Gaussiskt vitt brus. Förbi kan den nuvarande termen i serien uppskattas med en linjärt vägd summa av tidigare termer i serien. Vikten är autogegressionskoefficienterna. Problemet i AR-analysen Är att härleda de bästa värdena för ai givet en serie xt Majoriteten av metoderna antar att serien xt är linjär och stationär. Enligt konventionen antas serien xt vara nollmedel, om inte detta bara en annan term är en 0 framför Summering i ekvationen ovan. Ett antal tekniker finns för att beräkna AR-koefficienter De två huvudkategorierna är minst kvadrater och Burg-metoden Inom varje av dessa finns några varianter, de vanligaste minsta rutorna meto D är baserad på Yule-Walker-ekvationerna MatLab har ett brett spektrum av tekniker som stöds. Observera att när man jämför algoritmer från olika källor finns det två vanliga varianter, för det första är huruvida medelvärdet avlägsnas från serien eller den andra är tecknet Av de returnerade koefficienterna beror på definitionen och fastställs genom att helt enkelt invertera tecknet på alla koefficienter. Den vanligaste metoden för att härleda koefficienterna innebär att multiplicera definitionen ovan med x td ta förväntningsvärdena och normalisera se Box and Jenkins, 1976 Ger en uppsättning linjära ekvationer som kallas Yule-Walker-ekvationerna som kan skrivas i matrisformen. Där rd är autokorrelationskoefficienten vid fördröjning d Observera att diagonalen är r 0 1. Följande exempel presenteras med viss grad av detalj i ordning För att möjliggöra replikering och jämförelse av resultaten med andra paket. Uppgifterna är 1000 prov från en summa av 4 sinusoider och finns här. Data ser så här ut. Inte särskilt användbar, en order 1 AR-analys ger en koefficient på 0 941872, det här är inte helt överraskande, eftersom det sägs att genom att bara titta på en term i serien är nästa term i serien troligtvis nästan densamma, dvs xt 1 0 941872 x t. Följande tabell ger koefficienterna för ett antal modellordningar för exemplet ovan. Om ordern ökar beräknas i allmänhet detta kan inte nödvändigtvis vara så för bullriga data vid användning av stora AR-order. Det är ofta användbart att plotta RMS-felet mellan serien uppskattad av AR-koefficienterna och den faktiska serien Ett exempel på ovanstående fall visas nedan. Som är typiskt vid AR-analys faller RMS-felet väldigt snabbt och sedan utgår. Speciella fall. RMS-felet Stannar konstant då AR-ordningen ökas. De flesta AR-rutiner misslyckas i det här fallet trots att lösningen är enkel en 1 1, annars ai 0 En singulär matris resulterar i minsta kvadratformulering. Kanske det bästa sättet att testa kod för beräkning AR-koefficienterna är att generera artificiella serier med kända koefficienter och sedan kontrollera att AR-beräkningen ger samma resultat. Exempelvis kan man generera serien. AR-analys med en grad av 5 bör ge samma koefficienter som de som används för att generera serien Data För denna serie finns här och illustreras nedan. Detta testfall är av ordning 7, koefficienterna är. Den råa serien kan hittas här och datan anges nedan. Detta testfall är av ordning 2 är koefficienterna en 1 1 02, en 2 -0 53, Den råa serien kan hittas här och datan är upptagen nedan. Val av modellens ordning. Det finns inget enkelt sätt att bestämma rätt modellbeställning. Eftersom man ökar modellens ordning Root mean square RMS-felet minskar vanligtvis snabbt upp till en viss ordning och sedan långsammare. En order strax efter det att RMS-felet flattar ut är vanligtvis en lämplig order. Det finns mer formella tekniker för att välja modellordning, den Mest vanliga är Akaike Information Criterion. Source code. Source-kod för beräkning av AR-koefficienter finns här. Två algoritmer finns tillgängliga, minsta kvadratmetoden och Burg Max Entropy-metoden. En modifierad version burg c av Burg-metoden C-stil nollindex Arrays bidragit av Paul Sanders.